Modelos de analítica

Objetivo general

Método para reducir la dimensionalidad de los datos conservando la mayor cantidad de información. El método se debe usar cuando las variables son cuantitativas y existe presencia de correlación

Objetivos específicos

• Visualizar patrones: Sirve para visualizar la estructura de los datos y detectar patrones emergentes.

• Construir de índices sintéticos: Las variables originales se resumen en un conjunto menor de componentes principales que contienen información de todas las variables.

• Identificar factores clave: Identifica los factores principales que explican los cambios relacionados con el tema de interés.

• Identificar grupos: Ayuda a identificar grupos de individuos que comparten características similares.

¿Cómo funciona la técnica?

Componentes principales

Reproducir la matriz original usando menos dimensiones

Problema de optimización

Enfoque de Hotelling (1933) vs Pearson (1901)

Teorema de la factorización - SDV

Reproducir la matriz original con menos dimensiones.

Esquema de las componentes

Resumen

Interpretación en el espacio de las componentes

Interpretación en el espacio de las componentes

Ejemplo

El conjunto de datos RESUMEN.sav contiene un preprocesamiento obtenido de la GEIH del DANE a nivel departamental para algunas variables de interés.

library(pacman)
p_load(tidyverse, janitor,
       FactoMineR, factoextra, Factoshiny, 
       skimr, corrplot, psych, gt, gtsummary, haven)

url <- "https://github.com/jgbabativam/AnaDatos/raw/main/datos/RESUMEN.sav"
datos <- read_sav(url) |> as_factor()

Use el comando glimpse() y skim() para explorar el conjunto de datos.

Preparación del conjunto de datos

datos <- datos |> 
         column_to_rownames(var = "DPTO")

• Use la función Factoshiny(datos) y ajuste los parámetros del modelo.

• Explore el peso de las variables mediante la función PCA(datos) del paquete FactoMineR.

Analice los resultados

res <- PCA(datos, scale.unit = T, graph = F)
fviz_screeplot(res, addlabels = TRUE, ylim = c(0, 60))

Primer plano factorial para las variables

fviz_pca_var(res, 
             col.var="contrib",
             gradient.cols = c("#00AFBB", "#E7B800", "#FC4E07"),
             repel = TRUE)

Primer plano factorial para los individuos

fviz_pca_ind(res, col.ind = "cos2",
             gradient.cols = c("#00AFBB", "#E7B800", "#FC4E07"),
             repel = TRUE)

Biplot

fviz_pca_biplot(res, repel = TRUE, col.ind = "blue", col.var = "red")

Construcción de índices sintéticos

Tenga en cuenta que:

\[\mathbf{Y} = \mathbf{XV}\]

De manera que la matriz \(\mathbf{V}\) son los ponderadores de las variables en la matriz \(\mathbf{X}\), con lo cual \(\mathbf{Y}\) es un índice que resume la información contenida en las variables originales.

Análisis de correspondencias

Mientras que el PCA se usa para tratar variables cuantitativas que tienen algún grado de asociación lineal, el análisis de correspondencias es un método que surge de las tablas de contingencia y permite estudiar las relaciones entre variables nominales. Este análisis permite:

• Identificar patrones de asociación entre variables categóricas.
• Hacer una reducción de la dimensionalidad.
• Observar la proximidad entre individuos y entre variables.
• Hacer un pre-procesamiento para el análisis de clúster.

Estructura del conjunto de datos

Funcionamiento del análisis de correspondencias

Generación de tablas de contingencia

Al realizar la operación \(\mathbf{X}^T\mathbf{X}\) se llega a la matriz que concatena todas las tablas de contingencia entre pares de variables, denominada matriz de Burt

Proyección sobre el espacio factorial

Ejemplo

El conjunto de datos corresp.sav contiene 50 respuestas de una encuesta.

library(pacman)
p_load(tidyverse, janitor, patchwork,
       FactoMineR, factoextra, Factoshiny, 
       skimr, corrplot, psych, gt, gtsummary, haven)

url <- "https://github.com/jgbabativam/AnaDatos/raw/main/datos/corresp.sav"
datos <- read_sav(url) |> as_factor()

Preparación de los datos

datos <- datos |> 
         column_to_rownames(var = "encuesta")

• Use la función Factoshiny(datos) y ajuste los parámetros del modelo.

• Explore la contibución y el coseno al cuadrado usando MCA(datos) del paquete FactoMineR.

Analice los resultados

res <- MCA(datos, graph = F)
fviz_screeplot(res, addlabels = TRUE, ylim = c(0, 40))

Análisis de las contribuciones

corrplot(res$var$contrib, is.corr=FALSE, tl.col = "black")

Análisis de los cosenos

corrplot(res$var$cos2, is.corr=FALSE, tl.col = "black")

Primer plano factorial

fviz_mca_var(res, repel = TRUE, col.var = "blue")